Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Определение серединного перпендикуляра к отрезку. Четыре замечательные точки треугольника». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.
Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.
В (1765) году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера.
Теорему о точке пересечения высот треугольника учителю желательно прокомментировать по заранее заготовленному чертежу, а детальное доказательство предложить учащимся провести дома самостоятельно или с помощью учебника.
Замечательные точки треугольника
Высоты или их продолжения могут пересекаться как внутри треугольника, если он остроугольный, так и вне его, если он тупоугольный. Если треугольник прямоугольный, тогда ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D, лежащей на стороне треугольника ВС. Докажите, что точка D — середина стороны ВС.
Прежде чем мы приступим к изучению следующей точки, рассмотрим теорему о биссектрисе, проведённой из вершины неразвёрнутого угла, и докажем её.
Все точки обладают своими особенностями и свойствами, про всех есть свои теоремы и следствия из них. Кроме того, существует свойство, которое справедливо сразу для четырёх этих точек. Вне зависимости от того, медиана ли это, биссектриса или высота, все они пересекаются в одной точке. Точка D — основание биссектрисы. Она всегда располагается на стороне треугольника, пересекаемого биссектрисой.
Теорема о биссектрисе, как ГМТ
Точка пересечения трех биссектрис расположена на равном расстоянии от всех сторон треугольника и находится в центре вписанного в треугольник круга.
Полуокружность с концами АВ и отмечена точка K. С помощью одной линейки постройте прямую, проходящую через точку K и перпендикулярную к прямой АВ.
Углы СКА и СВА опираются на одну дугу, значит они равны. Но угол В равен половине угла А, следовательно и угол СКА равен половине угла А.
Из этого следует, что NO — это не только медиана треугольника ANB, но и высота (согласно свойству равнобедренного треугольника). NO — перпендикуляр к AB. Прямые NO и m совпадают.
Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).
Равнобедренные и равносторонние треугольники. Свойства равнобедренного треугольника. Геометрия 7 класс учебник Атанасян Л. С….
Пусть точка В принадлежит серединному перпендикуляру h. Тогда h является и медианой и высотой ∆ АВС, ∆ АВС – равнобедренный. А это противоречит условию задачи. Значит, точка В не принадлежит серединному перпендикуляру h.
Эта окружность называется «окружностью девяти точек», или «окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера». К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.
Точка пересечения высот треугольника
Любая из точек, принадлежащих серединному перпендикуляру к отрезку, находится на одинаковом расстоянии от каждого из двух его концов.
Таким образом, NО перпендикулярен АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т.е. точка N – точка прямой m.
Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е.
Таким образом, NО перпендикулярен АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т.е. точка N – точка прямой m.
Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е.
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае называется вписанным в данную окружность.
Замечательные точки треугольника — урок. Геометрия, 8 класс
Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$ стороны $BC$.
Доказательство. Пусть \( \small m \) и \( \small n \) серединные перпендикуляры сторон \( \small AB \) и \( \small BC \) треугольника \( \small ABC, \) соответственно (Рис.1). Покажем, сначала, что они пересекаются. Предположим, что \( \small m \) и \( \small n \) параллельны.
Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1, считая от вершины.
Лицензия на право ведения образовательной деятельности №5251 от 25.08.2017 г.
Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.
В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает «прямой», «правильный»). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан.
Доказательство: m∩n O, т.к. если m параллельна n, то m перпендикулярна BC, и через B проходят 2 прямые AB, BC, перпендикулярные к m, чего не может быть.
Четвёртая замечательная точка треугольника
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам.
Темой этого занятия будут четыре замечательные точки треугольника. На уроке мы повторим курс геометрии 8 класса, а именно: замечательные точки треугольника – дадим еще раз определение понятию «треугольник», который имеет три угла и три отрезка. На основе его свойств поговорим о четырех замечательных точках.
Вспомним, что биссектрисой угла является луч, начинающийся в вершине угла и разделяющий его на две равные части. В треугольнике биссектрисой является отрезок, который делит пополам один из его углов.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Точка пересечения медиан треугольника
Таким образом, прямые АА1, ВВ1, СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2, следовательно, они пересекаются в одной точке.
Но тогда получится, что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$, перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, следовательно, прямые $m$ и $n$ пересекаются.
Правильна будут и такая формулировка: любая точка, равноудаленная от концов отрезка, размещена на серединном перпендикуляре к нему. Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех её сторон, то есть перпендикуляры к сторонам многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до стороны, будет касаться всех сторон.
Третья замечательная точка треугольника
Сделаем дополнительное построение – серединный отрезок КD к прямой АС. Тогда DK это и высота, и медиана в ∆АВС. Если в треугольнике проведена прямая, которая является высотой и медианой, то он равнобедренный.
Докажем, что луч AM — биссектриса угла ВАС (см. рис. 224). Проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС.
Таким образом, серединный перпендикуляр р к отрезку АС тоже будет проходить через точку О, и все три перпендикуляра пересекутся в одной точке.
Четвертая, в которой пересекаются высоты треугольника, не упоминалась в трудах Евклида, но описывалась в трудах его современников. Возможно, Евклид и Архимед просто упорядочили и записали доказательства теорем, известных задолго до них.
Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку
Треугольник, стороны, углы, высота треугольника, медианы, биссектрисы. Прямоугольный треугольник, площадь треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой будет являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность единственна.
Список использованной литературы:
- Л.С. Атанасян. Учебник. 8 класс.
- Н.Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – Москва: «Вако», 2005.
- Л.С. Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва: «Просвещение», 2001.
- Д.А. Мальцева. Математика. 9 класс. ГИА 2014. – Москва: Народное образование, 2013.
- О.В. Белицкая. Геометрия. 8 класс. Тесты. – Саратов: «Лицей», 2009.
- С.П. Бабенко, И.С. Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва: «Аркти», 2014.